Aula 54. Distribuições Contínuas

Normal, Log-normal, Gamma e Beta, e como escolher o modelo certo

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Objetivos da aula

  • Recapitular a distribuição Normal e seu papel de referência
  • Definir a distribuição Log-normal e reconhecer processos multiplicativos
  • Definir a distribuição Gamma e reconhecer variáveis de tempo de espera
  • Definir a distribuição Beta e reconhecer variáveis limitadas entre 0 e 1
  • Escolher corretamente entre as quatro distribuições contínuas diante de um conjunto de dados novo

Bloco Incial

Variáveis Aleatórias Contínuas

O que é uma variável aleatória contínua

  • Uma variável aleatória é contínua quando pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo, resultado de medição, não de contagem.

  • Altura de planta, tempo até a germinação e proporção de área foliar afetada são todos exemplos de variáveis contínuas, mas com domínios e formas de distribuição muito diferentes entre si.

  • A distribuição de uma variável contínua é descrita por uma função de densidade de probabilidade, em que a área sob a curva, e não a altura em um ponto, representa probabilidade.

Bloco 1

Distribuição Normal, Recapitulando

Recapitulando o essencial

\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]

  • Simétrica em torno de \(\mu\), domínio em toda a reta real, média igual a mediana igual a moda.

  • É o modelo de referência para variáveis contínuas resultantes da soma de muitos fatores independentes de pequena magnitude, e a base do Teorema Central do Limite.

  • Não é adequada para variáveis estritamente positivas com assimetria forte, nem para variáveis limitadas a um intervalo fechado, como veremos nos próximos blocos.

Quando aparece na prática

  • Contexto: a altura de plantas em um estande homogêneo tende a se distribuir de forma aproximadamente simétrica, resultado de muitos fatores genéticos e ambientais atuando em conjunto.

Código: aplicação à altura de planta

dados_altura |>
  summarise(
    media      = mean(altura_cm),
    mediana    = median(altura_cm),
    assimetria = e1071::skewness(altura_cm, type = 2))

Output: aplicação e interpretação

# A tibble: 1 × 3
  media mediana assimetria
  <dbl>   <dbl>      <dbl>
1  164.    163.     -0.026
  • Média e mediana praticamente coincidem, e a assimetria está próxima de zero, consistente com a suposição de normalidade para a altura de planta neste estande.

Bloco 2

Distribuição Log-normal

Conceito, processos multiplicativos

  • Uma variável \(X\) segue distribuição Log-normal quando \(\ln(X)\) segue distribuição Normal.

  • Surge naturalmente de processos multiplicativos, em que o valor final resulta do produto de muitos fatores aleatórios independentes, e não de sua soma.

  • Contexto: a concentração de esporos de um fungo por grama de solo resulta de sucessivos ciclos de multiplicação do patógeno, um processo multiplicativo típico, produzindo forte assimetria à direita.

Função de densidade e propriedades na escala original

\[f(x) = \frac{1}{x\,\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad x > 0\]

Propriedade, escala original Fórmula
Média \(E[X] = \exp(\mu + \sigma^2/2)\)
Variância \(\text{Var}(X) = \left[\exp(\sigma^2)-1\right]\exp(2\mu+\sigma^2)\)

Important

Atenção: \(\mu\) e \(\sigma\) são a média e o desvio padrão de \(\ln(X)\), não da variável original. Reportar \(\mu\) como se fosse a média de \(X\) é um erro comum de interpretação.

Código: curvas log-normais para parâmetros diferentes

x_seq <- seq(0.1, 2000, length.out = 500)

curvas_lognormal <- bind_rows(
  tibble(x = x_seq, y = dlnorm(x_seq, meanlog = log(500), sdlog = 0.4),
         rotulo = "sdlog = 0,4"),
  tibble(x = x_seq, y = dlnorm(x_seq, meanlog = log(500), sdlog = 0.8),
         rotulo = "sdlog = 0,8"))

Gráfico: curvas log-normais

Quando aparece na prática

  • Concentrações microbianas, população de pragas em explosão populacional, e outras variáveis resultantes de crescimento multiplicativo, tendem a seguir distribuição Log-normal, com forte assimetria à direita na escala original.

Código: aplicação aos dados de esporos

dados_esporos |>
  summarise(
    media_original = mean(esporos_por_grama),
    mediana_original = median(esporos_por_grama),
    media_log = mean(log(esporos_por_grama)),
    dp_log     = sd(log(esporos_por_grama)))

Output: aplicação e interpretação

# A tibble: 1 × 4
  media_original mediana_original media_log dp_log
           <dbl>            <dbl>     <dbl>  <dbl>
1           761.             538.      6.27   0.85
  • A média na escala original é substancialmente maior que a mediana, assinatura característica da assimetria log-normal. Na escala logarítmica, a distribuição se aproxima da normalidade, confirmando o processo multiplicativo subjacente.

Bloco 3

Distribuição Gamma

Conceito, tempo de espera até um evento

  • A distribuição Gamma modela o tempo, ou outra grandeza contínua estritamente positiva, necessário para que ocorra um determinado número de eventos em um processo de taxa constante.

  • Contexto: o número de dias até a germinação de uma semente é uma variável estritamente positiva, tipicamente assimétrica à direita, adequada ao modelo Gamma.

Função de densidade e parâmetros

\[f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}, \quad x > 0\]

Símbolo Significado
\(\alpha\) Parâmetro de forma (shape)
\(\beta\) Parâmetro de taxa (rate)
\(E[X] = \alpha/\beta\) Média
\(\text{Var}(X) = \alpha/\beta^2\) Variância
  • Quando \(\alpha = 1\), a Gamma se reduz à distribuição Exponencial, o caso mais simples de tempo de espera, com taxa de ocorrência constante ao longo do tempo.

Código: curvas gamma para diferentes shape

x_seq <- seq(0.01, 30, length.out = 500)

curvas_gamma <- bind_rows(
  tibble(x = x_seq, y = dgamma(x_seq, shape = 1, rate = 0.5), rotulo = "shape = 1"),
  tibble(x = x_seq, y = dgamma(x_seq, shape = 4, rate = 0.5), rotulo = "shape = 4"),
  tibble(x = x_seq, y = dgamma(x_seq, shape = 10, rate = 0.5), rotulo = "shape = 10"))

Gráfico: curvas gamma

Quando aparece na prática

  • Tempo até germinação, tempo até a eclosão de ovos de uma praga, ou tempo até a manifestação de sintomas de uma doença, são exemplos típicos de variáveis de tempo de espera, adequadas à distribuição Gamma.

Código: aplicação aos dados de germinação

dados_germinacao |>
  summarise(
    media       = mean(dias_germinacao),
    variancia   = var(dias_germinacao),
    shape_estimado = media^2 / variancia,
    rate_estimado  = media / variancia)

Output: aplicação e interpretação

# A tibble: 1 × 4
  media variancia shape_estimado rate_estimado
  <dbl>     <dbl>          <dbl>         <dbl>
1  8.20      11.6           5.80         0.708
  • Os parâmetros de forma e taxa estimados pelo método dos momentos são próximos dos valores usados na simulação, confirmando que a distribuição Gamma descreve adequadamente o tempo até a germinação nesta amostra.

Bloco 4

Distribuição Beta

Conceito, variável limitada entre 0 e 1

  • A distribuição Beta modela variáveis contínuas restritas ao intervalo entre 0 e 1, como proporções, taxas e probabilidades.

  • Contexto: a proporção de área foliar afetada por uma doença, em cada folha avaliada, está necessariamente entre 0 e 1, um domínio que a distribuição Normal não respeita.

Função de densidade, parâmetros e formas possíveis

\[f(x) = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}, \quad 0 < x < 1\]

Combinação Forma resultante
\(\alpha = \beta = 1\) Uniforme entre 0 e 1
\(\alpha < \beta\) Assimetria à direita, concentração em valores baixos
\(\alpha > \beta\) Assimetria à esquerda, concentração em valores altos
\(\alpha = \beta > 1\) Simétrica, concentrada no centro

Código: curvas beta para diferentes parâmetros

x_seq <- seq(0.001, 0.999, length.out = 500)

curvas_beta <- bind_rows(
  tibble(x = x_seq, y = dbeta(x_seq, shape1 = 2, shape2 = 5), rotulo = "shape1 = 2, shape2 = 5"),
  tibble(x = x_seq, y = dbeta(x_seq, shape1 = 5, shape2 = 2), rotulo = "shape1 = 5, shape2 = 2"),
  tibble(x = x_seq, y = dbeta(x_seq, shape1 = 5, shape2 = 5), rotulo = "shape1 = 5, shape2 = 5"))

Gráfico: curvas beta

Quando aparece na prática

  • Severidade de doença como proporção de área afetada, taxa de germinação de um lote, proporção de cobertura de solo por plantas daninhas, todas essas variáveis estão limitadas entre 0 e 1 e são candidatas naturais à distribuição Beta.

Código: aplicação aos dados de severidade

dados_severidade |>
  summarise(
    media     = mean(proporcao_afetada),
    variancia = var(proporcao_afetada)) |>
  mutate(
    shape1_estimado = media * (media * (1 - media) / variancia - 1),
    shape2_estimado = (1 - media) * (media * (1 - media) / variancia - 1))

Output: aplicação e interpretação

# A tibble: 1 × 4
  media variancia shape1_estimado shape2_estimado
  <dbl>     <dbl>           <dbl>           <dbl>
1 0.289     0.029            1.78            4.39
  • Os parâmetros estimados pelo método dos momentos indicam shape1 menor que shape2, coerente com a concentração da severidade em valores baixos observada nesta amostra, a maioria das folhas apresenta pouca área afetada.

Bloco 5

Escolhendo o Modelo Certo

Árvore de decisão

Pergunta Resposta Distribuição indicada
A variável é simétrica e pode assumir qualquer valor real? Sim Normal
A variável é estritamente positiva, resulta de processo multiplicativo, com forte assimetria à direita? Sim Log-normal
A variável representa tempo de espera até um evento, estritamente positiva? Sim Gamma
A variável está limitada entre 0 e 1, como uma proporção? Sim Beta

Erro comum 1, usar Normal para variável estritamente positiva e assimétrica

  • Ajustar um modelo Normal a uma variável como concentração de esporos ou tempo até germinação ignora tanto a restrição de positividade quanto a assimetria observada, produzindo previsões que podem incluir valores negativos, fisicamente impossíveis.

Erro comum 2, usar Normal para proporção limitada entre 0 e 1

  • Modelar uma proporção, como severidade de doença, com distribuição Normal permite que o modelo produza valores fora do intervalo entre 0 e 1, uma inconsistência que a distribuição Beta, por construção, não permite.

Resumo: distribuições contínuas

Distribuição Domínio Parâmetros Função no R
Normal Reta real \(\mu\), \(\sigma^2\) dnorm()
Log-normal Positivo \(\mu\), \(\sigma\) da escala log dlnorm()
Gamma Positivo \(\alpha\) (shape), \(\beta\) (rate) dgamma()
Beta Entre 0 e 1 \(\alpha\), \(\beta\) dbeta()

Obrigada!

Continue praticando e explorando.

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