Aula 44. Quando o teste t não é adequado

Alternativas não paramétricas, Mann-Whitney e Wilcoxon, e quando cada uma se aplica

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Objetivos da aula

Reconhecer quando o teste t não é adequado, e por que
Aplicar o teste de Mann-Whitney para duas amostras independentes
Aplicar o teste de Wilcoxon de postos com sinais para amostras pareadas
Entender o conceito de eficiência relativa assintótica
Saber quando o teste paramétrico ainda é a melhor escolha, mesmo havendo alternativa
Evitar os erros mais comuns na aplicação de testes não paramétricos

Bloco 1

Mann-Whitney, Duas Amostras Independentes

Quando usar, por que o teste t não se aplica aqui

Contexto: um provador certificado atribui notas sensoriais, escala SCA de 0 a 100, a lotes de café processados por via natural e por via lavada, 10 lotes em cada grupo.
Um dos lotes processados por via natural apresenta um defeito perceptível durante a avaliação, resultando em uma nota muito abaixo das demais.
Esse valor discrepante, somado ao tamanho pequeno da amostra, compromete a suposição de normalidade exigida pelo teste t. O teste de Mann-Whitney compara as duas distribuições sem depender dessa suposição.

Hipóteses e estatística do teste

O teste de Mann-Whitney, também chamado teste U, compara as posições relativas das observações dos dois grupos, e não suas médias diretamente.

\[H_0: \text{as duas distribuições são iguais} \qquad H_1: \text{as duas distribuições diferem}\]

O procedimento ordena todas as observações dos dois grupos em conjunto, atribui postos, e calcula a estatística U a partir da soma dos postos de cada grupo.
Por trabalhar com postos, e não com os valores originais, o teste é pouco sensível a valores discrepantes.

Código: distribuição dos dados e teste de Mann-Whitney

notas_sensoriais |>
  group_by(processo) |>
  summarise(n = n(), media = mean(nota), mediana = median(nota))

shapiro.test(notas_natural)

resultado_mw <- wilcox.test(nota ~ processo, data = notas_sensoriais)

Output: teste de Mann-Whitney

# A tibble: 2 × 4
  processo        n media mediana
  <chr>       <dbl> <dbl>   <dbl>
1 Via lavada     10  85.5    85.6
2 Via natural    10  81.4    82.8

# A tibble: 1 × 2
  shapiro_estatistica shapiro_p
                <dbl>     <dbl>
1               0.640    0.0002

# A tibble: 1 × 2
  estatistica_w valor_p
          <dbl>   <dbl>
1            92  0.0017

O teste de Shapiro-Wilk indica desvio da normalidade no grupo via natural, consequência do valor discrepante. O teste de Mann-Whitney compara as duas distribuições sem exigir essa suposição, e seu p-valor determina se há diferença estatística entre os dois processos.

Bloco 2

Wilcoxon, Amostras Pareadas

Quando usar, mesma unidade avaliada duas vezes

Contexto: os mesmos 12 lotes de café recebem nota sensorial antes e depois de um ajuste no perfil de torra. Cada lote gera duas notas relacionadas, não duas amostras independentes.
Quando a suposição de normalidade das diferenças é questionável, ou quando a escala de avaliação é ordinal, o teste de Wilcoxon de postos com sinais substitui o teste t pareado, preservando a estrutura de emparelhamento.

Hipóteses e estatística do teste

\[H_0: \text{a mediana das diferenças é zero} \qquad H_1: \text{a mediana das diferenças é diferente de zero}\]

O procedimento calcula as diferenças dentro de cada par, ordena essas diferenças por seu valor absoluto, atribui postos, e soma os postos separadamente conforme o sinal da diferença, positivo ou negativo.
Diferenças iguais a zero são removidas antes da atribuição dos postos, e empates recebem o posto médio.

Código: teste de Wilcoxon pareado

diferencas <- nota_depois - nota_antes

resultado_wilcoxon <- wilcox.test(nota_antes, nota_depois, paired = TRUE)

tibble(
  mediana_diferenca = median(diferencas),
  estatistica_v      = resultado_wilcoxon$statistic,
  valor_p            = resultado_wilcoxon$p.value) |>
  mutate(across(where(is.numeric), ~ round(.x, 4)))

Output: teste de Wilcoxon pareado

# A tibble: 1 × 3
  mediana_diferenca estatistica_v valor_p
              <dbl>         <dbl>   <dbl>
1               2.6             0  0.0025

A mediana das diferenças é positiva, indicando melhora na nota sensorial após o ajuste de torra na maioria dos lotes. O p-valor do teste de Wilcoxon indica se essa melhora é estatisticamente consistente, sem exigir a suposição de normalidade das diferenças.

Bloco 3

Eficiência Relativa Assintótica

O que é a eficiência relativa assintótica

A eficiência relativa assintótica, ARE, mede quanta informação um teste não paramétrico preserva em relação ao teste paramétrico correspondente, quando as suposições do teste paramétrico são de fato atendidas.
Sob normalidade perfeita, o teste de Wilcoxon mantém aproximadamente 95,5% da eficiência do teste t, uma perda pequena.
Quando a normalidade não se sustenta, a eficiência relativa pode ultrapassar 100%, o teste não paramétrico se torna mais poderoso que o teste t nessas condições.

Quando o teste paramétrico ainda é a melhor escolha

Quando a suposição de normalidade é razoável e a amostra é suficientemente grande, o teste t continua sendo a escolha mais eficiente, mesmo com a pequena perda de eficiência dos testes de postos sendo praticamente irrelevante.
O teste t também permite estimar diretamente a magnitude da diferença entre médias, com intervalo de confiança na escala original dos dados, o que os testes de postos não fornecem da mesma forma direta.
A escolha não deve ser automática. Verificar a suposição de normalidade antes de decidir é sempre o primeiro passo.

Tabela de equivalências

Situação	Teste paramétrico	Alternativa não paramétrica
Duas amostras independentes	Teste t independente	Mann-Whitney
Duas amostras pareadas	Teste t pareado	Wilcoxon de postos com sinais
Três ou mais grupos independentes	ANOVA	Kruskal-Wallis
Associação entre variáveis contínuas	Correlação de Pearson	Correlação de Spearman

Bloco 4

Erros Comuns

Erro comum 1, usar teste não paramétrico sempre por precaução

Aplicar sistematicamente o teste não paramétrico, sem verificar a suposição de normalidade, abre mão de poder estatístico desnecessariamente quando os dados são de fato aproximadamente normais.
A escolha do teste deve ser fundamentada na verificação da normalidade, não em uma preferência automática por segurança.

Erro comum 2, interpretar o resultado do Mann-Whitney como comparação de médias

O teste de Mann-Whitney compara distribuições com base em postos, sua conclusão diz respeito à posição relativa dos valores, não diretamente às médias dos grupos.
Reportar o resultado do Mann-Whitney afirmando que “as médias diferem” é impreciso. O correto é afirmar que as distribuições, ou as medianas sob certas condições, diferem entre os grupos.

Erro comum 3, aplicar o Wilcoxon pareado em dados que não são pareados

Usar wilcox.test(x, y, paired = TRUE) quando as observações de x e y não têm correspondência real entre si produz um resultado sem interpretação válida.
O pareamento exige uma relação de correspondência genuína entre as observações, como o mesmo lote medido duas vezes, não apenas dois vetores do mesmo tamanho.

Resumo: alternativas não paramétricas

Teste	Compara	Hipótese nula	Função no R
Mann-Whitney	Duas amostras independentes	Distribuições iguais	`wilcox.test(y ~ grupo)`
Wilcoxon pareado	Duas amostras pareadas	Mediana das diferenças igual a zero	`wilcox.test(x, y, paired = TRUE)`
ARE	Eficiência do teste não paramétrico	Não se aplica	Não se aplica

Obrigada!

Continue praticando e explorando.

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