Aula 40. Teste t na prática

Uma amostra, duas amostras independentes e teste pareado, e como escolher o correto

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Objetivos da aula

• Aplicar o teste t para uma amostra, comparando uma média a um valor de referência
• Aplicar o teste t para duas amostras independentes, verificando a homogeneidade de variâncias antes do teste
• Aplicar o teste t pareado, quando a mesma unidade é medida duas vezes
• Entender por que o pareamento aumenta o poder do teste
• Escolher corretamente qual dos três testes se aplica a cada estrutura de dados

Bloco 1

Teste t para Uma Amostra

Conceito, quando usar

• O teste t para uma amostra compara a média de um único grupo a um valor de referência fixo e conhecido.

• No contexto deste estudo: um lote de café tem sua umidade medida em 30 pontos de amostragem, e o objetivo é verificar se a umidade média do lote é compatível com o valor de referência de mercado, 12%.

• \(H_0: \mu = 12\) contra \(H_1: \mu \neq 12\), teste bicaudal, pois o desvio pode ocorrer em qualquer direção.

Fórmula do teste t para uma amostra

\[t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}, \quad \text{com } n-1 \text{ graus de liberdade}\]

Símbolo	Significado
\(\bar{x}\)	Média amostral da umidade
\(\mu_0\)	Valor de referência, 12%
\(s/\sqrt{n}\)	Erro padrão da média amostral

Código: umidade do lote x referência

resultado_uma_amostra <- t.test(amostra_lote$umidade, mu = valor_referencia)

tibble(
  media           = mean(amostra_lote$umidade),
  estatistica_t   = resultado_uma_amostra$statistic,
  graus_liberdade = resultado_uma_amostra$parameter,
  valor_p         = resultado_uma_amostra$p.value,
  ic_inf          = resultado_uma_amostra$conf.int[1],
  ic_sup          = resultado_uma_amostra$conf.int[2]) |>
  mutate(across(where(is.numeric), ~ round(.x, 4)))

Output: teste t uma amostra

# A tibble: 1 × 6
  media estatistica_t graus_liberdade valor_p ic_inf ic_sup
  <dbl>         <dbl>           <dbl>   <dbl>  <dbl>  <dbl>
1  11.6         -4.16              29  0.0003   11.4   11.8

• O intervalo de confiança não contém o valor de referência de 12%, e o p-valor é pequeno, o que indica que a umidade média deste lote difere estatisticamente do valor esperado.

Bloco 2

Teste t para Duas Amostras Independentes

Conceito, quando usar

• O teste t para duas amostras independentes compara as médias de dois grupos formados por unidades diferentes, sem qualquer relação de emparelhamento entre elas.

• No contexto deste estudo: lotes secados no Secador A são unidades diferentes dos lotes secados no Secador B, cada lote passa por apenas um dos dois equipamentos.

• \(H_0: \mu_A = \mu_B\) contra \(H_1: \mu_A \neq \mu_B\).

Verificação da homogeneidade de variâncias

• Antes de aplicar o teste t independente, é necessário verificar se os dois grupos apresentam variância semelhante.

• Quando as variâncias são homogêneas, usa-se a versão do teste t com variância combinada (pooled). Quando não são, usa-se a correção de Welch, que ajusta os graus de liberdade.

• O teste F de razão de variâncias, var.test(), fornece essa verificação.

Código: teste de variâncias e teste t independente

resultado_variancia <- var.test(umidade ~ secador, data = amostra_secadores)

resultado_duas_amostras <- t.test(umidade ~ secador, data = amostra_secadores,
                                   var.equal = FALSE)

tibble(
  f_variancia     = resultado_variancia$statistic,
  p_variancia     = resultado_variancia$p.value,
  estatistica_t   = resultado_duas_amostras$statistic,
  graus_liberdade = resultado_duas_amostras$parameter,
  valor_p         = resultado_duas_amostras$p.value) |>
  mutate(across(where(is.numeric), ~ round(.x, 4)))

Output: teste t independente

# A tibble: 1 × 5
  f_variancia p_variancia estatistica_t graus_liberdade valor_p
        <dbl>       <dbl>         <dbl>           <dbl>   <dbl>
1       0.913       0.837         -3.08            41.9  0.0036

• O teste de variâncias indica heterogeneidade entre os grupos, o que justifica o uso da correção de Welch. O p-valor do teste t indica se a diferença de umidade média entre os dois secadores é estatisticamente significativa.

Bloco 3

Teste t Pareado

Conceito, quando usar

• O teste t pareado compara duas medições feitas na mesma unidade experimental, eliminando a variabilidade natural entre unidades diferentes.

• No contexto deste estudo: o mesmo lote de café é medido antes e depois do processo de secagem, as duas medições pertencem à mesma unidade.

• \(H_0: \mu_d = 0\) contra \(H_1: \mu_d \neq 0\), em que \(\mu_d\) é a média das diferenças antes menos depois.

Por que o pareamento aumenta o poder do teste

\[t = \frac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}}, \quad \text{com } n-1 \text{ graus de liberdade}\]

• Ao trabalhar com as diferenças dentro de cada lote, o teste pareado remove a variabilidade entre lotes, que normalmente aumenta o erro padrão em um teste independente.

• Como resultado, o mesmo tamanho de efeito é detectado com maior facilidade no teste pareado do que seria no teste independente, para o mesmo número de observações.

Código: umidade antes x depois da secagem

resultado_pareado <- t.test(amostra_pareada$umidade_antes,
                             amostra_pareada$umidade_depois,
                             paired = TRUE)

tibble(
  diferenca_media = mean(amostra_pareada$umidade_antes - amostra_pareada$umidade_depois),
  estatistica_t    = resultado_pareado$statistic,
  graus_liberdade  = resultado_pareado$parameter,
  valor_p          = resultado_pareado$p.value) |>
  mutate(across(where(is.numeric), ~ round(.x, 4)))

Output: teste t pareado

# A tibble: 1 × 5
  diferenca_media estatistica_t graus_liberdade valor_p_pareado
            <dbl>         <dbl>           <dbl>           <dbl>
1            6.13          67.9              17               0
# ℹ 1 more variable: valor_p_se_independente <dbl>

• A umidade reduz de forma consistente após a secagem, com p-valor muito pequeno no teste pareado. A última coluna mostra o que aconteceria se os mesmos dados fossem, incorretamente, tratados como independentes, o p-valor resultante é maior, evidenciando a perda de poder ao ignorar o pareamento.

Bloco 4

Qual Teste Usar

Árvore de decisão

Pergunta	Resposta	Teste indicado
Estou comparando a média de um grupo a um valor fixo?	Sim	Teste t para uma amostra
Estou comparando dois grupos formados por unidades diferentes?	Sim	Teste t para duas amostras independentes
A mesma unidade foi medida duas vezes?	Sim	Teste t pareado
As variâncias dos dois grupos independentes são homogêneas?	Verificar com var.test()	Pooled ou correção de Welch

Erro comum 1, aplicar teste independente em dados pareados

• Tratar medições repetidas na mesma unidade como se fossem de unidades diferentes ignora a correlação entre as duas medições.

• Essa prática infla o erro padrão da diferença e reduz o poder do teste, como demonstrado na comparação do Bloco 3.

Erro comum 2, não verificar homogeneidade de variância antes do teste independente

• Assumir variâncias iguais sem verificação pode distorcer o erro padrão da diferença de médias e, consequentemente, o valor de p.

• O teste var.test() deve preceder a escolha entre a versão pooled e a correção de Welch do teste t.

Erro comum 3, aplicar teste t sem checar normalidade em amostra pequena

• O teste t assume que os dados provêm de uma distribuição aproximadamente normal, especialmente relevante quando o tamanho da amostra é pequeno.

• Em amostras pequenas com forte assimetria, a alternativa não paramétrica correspondente deve ser considerada antes de aplicar o teste t.

Resumo: teste t na prática

Tipo de teste	Estrutura dos dados	Hipótese nula	Função no R
Uma amostra	Um grupo x valor de referência	\(\mu = \mu_0\)	t.test(x, mu = valor)
Duas amostras independentes	Dois grupos, unidades diferentes	\(\mu_1 = \mu_2\)	t.test(y ~ grupo)
Pareado	Mesma unidade, duas medições	\(\mu_d = 0\)	t.test(x, y, paired = TRUE)

Obrigada!

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