Aula 37. As quatro distribuições que sustentam a inferência

Normal, t de Student, F de Snedecor e Qui-quadrado, e quando cada uma aparece

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Objetivos da aula

  • Definir formalmente a distribuição Normal, a distribuição t de Student, a distribuição F de Snedecor e a distribuição Qui-quadrado
  • Compreender os parâmetros que determinam a forma de cada distribuição
  • Reconhecer a relação matemática entre as quatro distribuições
  • Identificar em qual situação prática cada distribuição aparece
  • Aplicar as quatro distribuições a um único conjunto de dados, um ensaio de germinação de sementes
  • Evitar os erros mais comuns na escolha da distribuição correta

Bloco Inicial

Por que Quatro Distribuições?

Panorama, o papel de cada distribuição

Distribuição Parâmetro Papel na inferência
Normal \(\mu\), \(\sigma^2\) Descreve a variável original e a distribuição da média amostral
t de Student \(\nu\) (graus de liberdade) Substitui a normal quando \(\sigma\) é desconhecido
F de Snedecor \(\nu_1\), \(\nu_2\) Compara duas variâncias, base da ANOVA
Qui-quadrado \(\nu\) (graus de liberdade) Compara frequências observadas e esperadas, base de testes de proporção
  • As quatro distribuições estão matematicamente conectadas. A t nasce da razão entre uma normal e uma qui-quadrado. A F nasce da razão entre duas qui-quadrado. Entender a normal é a base para entender as outras três.

Bloco 1

Distribuição Normal

Definição e função de densidade

  • Uma variável aleatória contínua \(X\) segue distribuição normal com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\), notação \(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\), se sua função de densidade de probabilidade é:

\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad -\infty < x < +\infty\]

Símbolo Significado
\(f(x)\) Densidade de probabilidade no ponto x
\(\mu\) Média populacional, parâmetro de localização
\(\sigma^2\) Variância populacional, parâmetro de escala
\(\exp(\cdot)\) Função exponencial

Propriedades fundamentais

  • Simetria perfeita em torno de \(\mu\), a curva é um espelho de si mesma.

  • Média, mediana e moda coincidem, os três valores são iguais a \(\mu\).

  • Os parâmetros \(\mu\) e \(\sigma^2\) determinam completamente a distribuição, não há outros parâmetros envolvidos.

  • Teorema Central do Limite: a média amostral \(\bar{X}\) de n observações independentes converge para \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2/n)\) quando n cresce, mesmo que a variável original não seja normal. Na prática, a aproximação já é boa para \(n \geq 30\).

Padronização e regra empírica

  • Quando \(\mu = 0\) e \(\sigma^2 = 1\), a distribuição é chamada normal padrão, \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\).

  • Qualquer normal pode ser convertida em normal padrão pela padronização:

\[z = \frac{x - \mu}{\sigma}\]

  • Regra empírica 68, 95, 99,7: aproximadamente 68% dos valores estão a até 1 desvio padrão da média, 95% a até 2 desvios padrão, e 99,7% a até 3 desvios padrão.

Código: curvas normais com parâmetros diferentes

x_seq <- seq(60, 100, length.out = 500)

curvas_normais <- map_dfr(c(75, 82, 90), function(mu) {
  tibble(x = x_seq, y = dnorm(x_seq, mean = mu, sd = 6),
         rotulo = paste0("mu = ", mu, ", sigma = 6"))
}) |>
  mutate(rotulo = factor(rotulo, levels = unique(rotulo)))

Gráfico: efeito de \(\mu\) e \(\sigma\) sobre a curva

Quando aparece na prática

  • Contexto: um ensaio de germinação avalia três cultivares de sementes, A, B e C. Cada bandeja contém 50 sementes, e a taxa de germinação é medida em porcentagem.

  • A taxa de germinação, por resultar da soma de muitos fatores independentes, tende a se aproximar de uma distribuição normal.

  • Antes de qualquer teste paramétrico, é necessário verificar se essa aproximação é razoável nos dados observados.

Código: verificação da normalidade

amostra_germinacao |>
  summarise(
    media = mean(taxa_germinacao),
    dp = sd(taxa_germinacao),
    shapiro_estatistica = 
      shapiro.test(taxa_germinacao)$statistic,
    shapiro_p = shapiro.test(taxa_germinacao)$p.value) |>
  mutate(across(where(is.numeric), ~ round(.x, 4)))

Output: verificação da normalidade

# A tibble: 1 × 4
  media    dp shapiro_estatistica shapiro_p
  <dbl> <dbl>               <dbl>     <dbl>
1  82.3  6.84               0.989     0.851
  • O valor de p do teste de Shapiro-Wilk não indica evidência contra a normalidade, o que confirma que a suposição de distribuição normal é adequada para a taxa de germinação nesta amostra.

Bloco 2

Distribuição t de Student

Definição e motivo de existir

  • Em 1908, William Sealy Gosset, publicando sob o pseudônimo Student, derivou a distribuição da estatística:

\[t = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}\]

quando os dados provêm de uma normal com \(\sigma\) desconhecido.

Símbolo Significado
\(\bar{X}\) Média amostral
\(S\) Desvio padrão amostral, estimativa de \(\sigma\)
\(S/\sqrt{n}\) Erro padrão estimado
  • Substituir \(\sigma\) por \(S\) introduz incerteza adicional, o que torna as caudas dessa distribuição mais pesadas que as da normal.

Graus de liberdade e forma da curva

\[f(t;\nu) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1 + \frac{t^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}\]

  • \(\nu = n - 1\) são os graus de liberdade, o único parâmetro da distribuição t.

  • Quanto menor \(\nu\), mais pesadas as caudas, refletindo maior incerteza sobre \(\sigma\) com poucos dados.

  • Quanto maior \(\nu\), mais a distribuição t se aproxima da normal padrão. Para \(\nu > 30\), a diferença já é pequena. Para \(\nu > 120\), é praticamente desprezível.

Código: t x normal para diferentes graus de liberdade

t_seq <- seq(-5, 5, length.out = 600)

curvas_t <- map_dfr(c(1, 5, 15), function(nu) {
  tibble(t = t_seq, y = dt(t_seq, df = nu),
         rotulo = paste0("t (ν = ", nu, ")"))
}) |>
  bind_rows(tibble(t = t_seq, y = dnorm(t_seq), rotulo = "Normal padrão")) |>
  mutate(rotulo = factor(rotulo, levels = c(
    "t (ν = 1)", "t (ν = 5)", "t (ν = 15)", "Normal padrão")))

Gráfico: t x normal

Quando aparece na prática

  • Contexto: comparar a taxa média de germinação entre a Cultivar A e a Cultivar B, com amostra de 20 bandejas por cultivar e \(\sigma\) populacional desconhecido.

  • Essa é exatamente a situação em que a distribuição t substitui a normal, o desvio padrão populacional não é conhecido e é estimado a partir da amostra.

Código: teste t entre duas cultivares

dados_ab <- amostra_germinacao |>
  filter(cultivar %in% c("Cultivar A", "Cultivar B"))

resultado_t <- t.test(taxa_germinacao ~ cultivar, data = dados_ab)

tibble(
  estatistica_t = resultado_t$statistic,
  graus_liberdade = resultado_t$parameter,
  valor_p = resultado_t$p.value) |>
  mutate(across(where(is.numeric), ~ round(.x, 4)))

Output: teste t entre duas cultivares

# A tibble: 1 × 3
  estatistica_t graus_liberdade valor_p
          <dbl>           <dbl>   <dbl>
1          2.83            38.0  0.0073
  • A estatística t obtida, com os graus de liberdade correspondentes, é comparada à distribuição t apresentada anteriormente para determinar o valor de p. Um valor de p pequeno indica que a diferença observada entre as duas cultivares dificilmente ocorreria apenas por variação amostral.

Bloco 3

Distribuição F de Snedecor

Definição, razão de variâncias

  • Se \(U \sim \chi^2_{\nu_1}\) e \(V \sim \chi^2_{\nu_2}\) são independentes, então:

\[F = \frac{U/\nu_1}{V/\nu_2}\]

segue uma distribuição F com \(\nu_1\) graus de liberdade no numerador e \(\nu_2\) no denominador, \(F(\nu_1, \nu_2)\).

  • Na ANOVA, a estatística F é a razão entre duas estimativas de variância:

\[F = \frac{QM_{\text{tratamentos}}}{QM_{\text{resíduo}}}\]

  • Sob a hipótese de que todos os tratamentos têm a mesma média, \(F \approx 1\). Quanto maior a diferença real entre os tratamentos, maior o valor de F.

Forma da curva

  • Não negatividade: \(F \geq 0\) sempre, é a razão de duas grandezas não negativas.

  • Assimetria à direita, mais pronunciada quando \(\nu_1\) e \(\nu_2\) são pequenos, tornando-se mais simétrica com o aumento dos graus de liberdade.

  • Relação com a distribuição t: se \(T \sim t_\nu\), então \(T^2 \sim F(1, \nu)\). O quadrado de uma estatística t segue distribuição F com 1 grau de liberdade no numerador.

Código: curvas F para diferentes graus de liberdade

x_f <- seq(0.01, 6, length.out = 500)

curvas_f <- map_dfr(list(c(2, 17), c(2, 57)), function(gls) {
  tibble(x = x_f, y = df(x_f, df1 = gls[1], df2 = gls[2]),
         rotulo = paste0("F(", gls[1], ", ", gls[2], ")"))
}) |>
  mutate(rotulo = factor(rotulo, levels = unique(rotulo)))

Gráfico: curvas F

Quando aparece na prática

  • Contexto: comparar a taxa média de germinação entre as três cultivares, A, B e C, simultaneamente. Comparar par a par com múltiplos testes t infla o erro tipo I, a ANOVA resolve essa comparação em um único teste.

  • Os graus de liberdade do numerador correspondem ao número de cultivares menos 1, e os do denominador correspondem ao total de bandejas menos o número de cultivares.

Código: ANOVA entre as três cultivares

modelo_anova <- aov(taxa_germinacao ~ cultivar, data = amostra_germinacao)

summary(modelo_anova)[[1]] |>
  as_tibble(rownames = "fonte") |>
  mutate(across(where(is.numeric), ~ round(.x, 4)))

Output: ANOVA entre as três cultivares

# A tibble: 2 × 6
  fonte            Df `Sum Sq` `Mean Sq` `F value` `Pr(>F)`
  <chr>         <dbl>    <dbl>     <dbl>     <dbl>    <dbl>
1 "cultivar   "     2     591.     295.       7.75   0.0011
2 "Residuals  "    57    2171.      38.1     NA     NA
  • A estatística F obtida é comparada à distribuição F com os graus de liberdade do modelo. Um valor de p pequeno indica que ao menos uma cultivar difere das demais quanto à taxa média de germinação.

Bloco 4

Distribuição Qui-quadrado

Definição, soma de normais padrão ao quadrado

  • Se \(Z_1, Z_2, \ldots, Z_\nu\) são variáveis normais padrão independentes, então:

\[\chi^2_\nu = \sum_{i=1}^{\nu} Z_i^2\]

segue uma distribuição qui-quadrado com \(\nu\) graus de liberdade.

Propriedade Valor
Média \(E[\chi^2_\nu] = \nu\)
Variância \(\text{Var}(\chi^2_\nu) = 2\nu\)
Domínio \(\chi^2_\nu \geq 0\) sempre
  • Essa distribuição também descreve a variância amostral: \((n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}\).

Forma da curva

  • Assimetria à direita, forte para \(\nu\) pequeno, decrescendo progressivamente com o aumento de \(\nu\).

  • Para \(\nu\) grande, a distribuição se aproxima da normal, por força do Teorema Central do Limite.

  • É a base do teste de aderência, que compara frequências observadas a frequências esperadas sob uma hipótese, e do teste de independência, que avalia associação entre variáveis categóricas.

Código: curvas qui-quadrado para diferentes graus de liberdade

x_chi <- seq(0.01, 30, length.out = 600)

curvas_chi <- map_dfr(c(2, 5, 15), function(nu) {
  tibble(x = x_chi, y = dchisq(x_chi, df = nu),
         rotulo = paste0("χ² (ν = ", nu, ")"))
}) |>
  mutate(rotulo = factor(rotulo, levels = unique(rotulo)))

Gráfico: curvas qui-quadrado

Quando aparece na prática

  • Contexto: o fornecedor das sementes declara germinação esperada de 80%. O teste de aderência verifica se a proporção observada na amostra é compatível com esse valor declarado.

  • As categorias comparadas são sementes germinadas e sementes não germinadas, somadas em toda a amostra de 60 bandejas.

Código: teste qui-quadrado de aderência

totais <- amostra_germinacao |>
  summarise(
    germinadas     = sum(sementes_germinadas),
    nao_germinadas = sum(sementes_totais) - sum(sementes_germinadas))

resultado_chi <- chisq.test(
  x = c(totais$germinadas, totais$nao_germinadas),
  p = c(0.80, 0.20))

tibble(
  estatistica_chi = resultado_chi$statistic,
  graus_liberdade = resultado_chi$parameter,
  valor_p         = resultado_chi$p.value) |>
  mutate(across(where(is.numeric), ~ round(.x, 4)))

Output: teste qui-quadrado de aderência

# A tibble: 1 × 3
  estatistica_chi graus_liberdade valor_p
            <dbl>           <dbl>   <dbl>
1            9.63               1  0.0019
  • A estatística qui-quadrado obtida é comparada à distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade para determinar o valor de p. O resultado indica se a proporção de germinação observada nesta amostra é estatisticamente compatível com o valor de 80% declarado pelo fornecedor.

Bloco 5

Síntese

Quando cada distribuição aparece

Situação prática Distribuição usada
Descrever a variável original, verificar normalidade Normal
Comparar a média de um grupo a um valor de referência, \(\sigma\) desconhecido t
Comparar as médias de dois grupos independentes t
Comparar as médias de três ou mais grupos F
Testar a homogeneidade de variâncias entre grupos F ou Qui-quadrado
Testar se uma proporção observada corresponde a um valor esperado Qui-quadrado
Testar associação entre duas variáveis categóricas Qui-quadrado

Erro comum 1, tratar t como normal em amostra pequena

  • Usar os valores críticos da normal padrão em vez dos valores críticos da distribuição t, quando \(\sigma\) é desconhecido e a amostra é pequena, produz intervalos de confiança mais estreitos do que deveriam ser.

  • Essa prática gera uma falsa impressão de maior precisão na estimativa.

Erro comum 2, achar que F só serve para ANOVA

  • A distribuição F aparece em qualquer situação que envolva razão de duas variâncias, incluindo testes de homogeneidade de variância, como o teste de Levene em algumas de suas formulações, e a comparação entre modelos de regressão aninhados.

  • Restringir a distribuição F apenas à ANOVA limita seu uso em outras etapas da análise.

Erro comum 3, aplicar qui-quadrado com frequência esperada baixa

  • O teste qui-quadrado depende de uma aproximação que perde precisão quando as frequências esperadas em alguma categoria são baixas, geralmente abaixo de 5.

  • Nessas situações, o teste exato de Fisher é a alternativa mais apropriada, especialmente em tabelas pequenas.

Resumo: as quatro distribuições

Distribuição Domínio Parâmetro Função no R Uso central
Normal Real \(\mu\), \(\sigma^2\) dnorm(), pnorm() Descrição, TCL
t de Student Real \(\nu\) dt(), t.test() Comparação de médias
F de Snedecor Positivo \(\nu_1\), \(\nu_2\) df(), aov() ANOVA, comparação de variâncias
Qui-quadrado Positivo \(\nu\) dchisq(), chisq.test() Aderência, independência

Obrigada!

Continue praticando e explorando.

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