Aula 34. Amostra, erro padrão e intervalo de confiança

Os três conceitos que todo aluno tem dúvida, da amostragem à margem de erro, sem misturar desvio padrão com erro padrão

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Objetivos da aula

Distinguir população e amostra, e reconhecer a diferença entre parâmetro e estatística
Calcular o erro padrão da média e entender o que ele representa
Calcular e interpretar corretamente um intervalo de confiança para a média
Identificar a distinção entre desvio padrão e erro padrão, a confusão mais frequente nesse tema
Reconhecer os erros de interpretação mais comuns envolvendo essas três medidas

Bloco 1

População, Amostra e Inferência

População: definição

A população é o conjunto completo de unidades sobre as quais se deseja alguma conclusão.
Seus valores numéricos são chamados parâmetros, representados por letras gregas, como $\mu$ (média populacional) e $\sigma$ (desvio padrão populacional).
No contexto deste estudo: a população é formada por 8.000 lotes de armazenamento de uma cooperativa, e o parâmetro de interesse é o teor médio de proteína nesses lotes.

Important

Atenção: na prática, a população raramente é medida por completo. O parâmetro é, na maioria dos casos, um valor desconhecido que a inferência busca estimar.

Amostra: definição

A amostra é um subconjunto da população, selecionado para representar o todo sem a necessidade de medir cada unidade.
Seus valores numéricos são chamados estatísticas, representados por letras latinas, como $\bar{x}$ (média amostral) e $s$ (desvio padrão amostral).
No contexto deste estudo: a amostra é composta por 60 lotes selecionados aleatoriamente entre os 8.000, e a estatística de interesse é o teor médio de proteína nesses 60 lotes.
A validade da inferência depende diretamente do processo de amostragem. Uma amostra selecionada por conveniência não permite generalização para a população.

Parâmetro x estatística

Elemento	População	Amostra
Nome	Parâmetro	Estatística
Notação	Letra grega	Letra latina
Média	$\mu$	$\bar{x}$
Desvio padrão	$\sigma$	$s$
Valor	Geralmente desconhecido	Calculado a partir dos dados
Função no R	Não se aplica	`mean()`, `sd()`

Código: população e amostra

populacao_soja <- tibble(
  lote     = 1:8000,
  proteina = rnorm(8000, mean = 38.2, sd = 2.10))

amostra_soja <- populacao_soja |> slice_sample(n = 60)

bind_rows(
  populacao_soja |> summarise(conjunto = "População", n = n(),
                               media = mean(proteina), dp = sd(proteina)),
  amostra_soja |> summarise(conjunto = "Amostra", n = n(),
                             media = mean(proteina), dp = sd(proteina))) |>
  mutate(across(where(is.numeric), ~ round(.x, 3)))

Output: comparação população x amostra

# A tibble: 2 × 4
  conjunto      n media    dp
  <chr>     <dbl> <dbl> <dbl>
1 População  8000  38.2  2.10
2 Amostra      60  38.2  2.10

A média amostral se aproxima da média populacional, mas não coincide exatamente com ela. Essa diferença entre estatística e parâmetro é o que a inferência estatística busca quantificar.

Bloco 2

Erro Padrão da Média

Distribuição amostral da média

Se retirássemos repetidamente amostras de 60 lotes dessa mesma população, cada amostra produziria uma média ligeiramente diferente.
O conjunto de todas essas médias possíveis forma a distribuição amostral da média.
Pelo teorema central do limite, essa distribuição se aproxima de uma distribuição normal à medida que o tamanho da amostra aumenta, mesmo que a variável original não seja normal.
O erro padrão descreve a dispersão dessa distribuição amostral, e não a dispersão dos dados individuais.

Erro padrão: definição e fórmula

\[EP = \frac{s}{\sqrt{n}}\]

O erro padrão mede a precisão da média amostral como estimativa da média populacional.
Diferente do desvio padrão, que descreve a variabilidade entre as observações individuais, o erro padrão descreve a variabilidade esperada entre médias de amostras diferentes.

Important

Atenção: desvio padrão e erro padrão respondem perguntas diferentes. O desvio padrão descreve os dados. O erro padrão descreve a precisão da estimativa da média.

Código: erro padrão

amostra_soja |>
  summarise(
    media = mean(proteina),
    dp    = sd(proteina),
    n     = n(),
    ep    = dp / sqrt(n)) |>
  mutate(across(where(is.numeric), ~ round(.x, 4)))

Output: erro padrão

# A tibble: 1 × 4
  media    dp     n    ep
  <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1  38.2  2.10    60 0.271

O erro padrão é bem menor que o desvio padrão, pois mede a precisão da média, não a dispersão dos lotes individuais. Esses dois valores não devem ser reportados como se fossem o mesmo número.

Efeito do tamanho da amostra sobre o erro padrão

O erro padrão diminui à medida que o tamanho da amostra aumenta, na proporção de $1/\sqrt{n}$.
Isso significa que, para reduzir o erro padrão à metade, é necessário quadruplicar o tamanho da amostra, e não apenas dobrá-lo.
Aumentar o tamanho da amostra melhora a precisão da estimativa da média, mas não reduz a variabilidade natural entre os lotes individuais, medida pelo desvio padrão.

Código: erro padrão para diferentes tamanhos de amostra

tibble(n = c(10, 30, 60, 120, 240)) |>
  mutate(erro_padrao = sigma_real / sqrt(n))

Gráfico: erro padrão em função de n

Bloco 3

Intervalo de Confiança

Intervalo de confiança: definição correta

O intervalo de confiança é uma faixa de valores construída a partir da amostra, que, sob repetição do processo de amostragem, contém a média populacional em uma proporção especificada das vezes.
Interpretação correta: se o processo de amostragem fosse repetido muitas vezes, aproximadamente 95% dos intervalos construídos conteriam a verdadeira média populacional.

Important

Atenção: um intervalo de confiança de 95% não significa que há 95% de chance de a média populacional estar dentro daquele intervalo específico. A média populacional é fixa, quem varia é o intervalo, a cada nova amostra.

Fórmula do intervalo de confiança

\[IC_{(1-\alpha)} = \bar{x} \pm t_{(n-1;\; \alpha/2)} \cdot EP\]

$\bar{x}$ é a média amostral.
$t_{(n-1;\; \alpha/2)}$ é o valor crítico da distribuição $t$ de Student, com $n-1$ graus de liberdade.
$EP$ é o erro padrão da média, calculado a partir da própria amostra.

Nível de confiança x amplitude do intervalo

Aumentar o nível de confiança, de 90% para 95% ou para 99%, amplia o valor crítico $t$ e, consequentemente, amplia o intervalo.
Um intervalo mais amplo aumenta a chance de conter a média populacional, mas reduz a precisão da estimativa.
Não existe nível de confiança que elimine a incerteza. Existe apenas a escolha entre mais confiança com menos precisão, ou mais precisão com menos confiança.

Código: intervalo de confiança 95%

resultado_ic <- t.test(amostra_soja$proteina, conf.level = 0.95)

tibble(
  estimativa  = resultado_ic$estimate,
  ic_inf      = resultado_ic$conf.int[1],
  ic_sup      = resultado_ic$conf.int[2],
  erro_padrao = resultado_ic$stderr) |>
  mutate(across(where(is.numeric), ~ round(.x, 4)))

Output: intervalo de confiança 95%

# A tibble: 1 × 4
  estimativa ic_inf ic_sup erro_padrao
       <dbl>  <dbl>  <dbl>       <dbl>
1       38.2   37.6   38.7       0.271

O intervalo calculado a partir desta amostra de 60 lotes contém a média populacional real, o que é esperado, mas não garantido, em um intervalo de 95% de confiança.

Gráfico: intervalo de confiança

Bloco 4

Desvio Padrão x Erro Padrão x Intervalo de Confiança

O que cada medida responde

Medida	O que mede	Fórmula	Depende de n
Desvio padrão	Variabilidade entre as observações individuais	$s = \sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$	Não diminui com n
Erro padrão	Precisão da média amostral como estimativa de $\mu$	$EP = s/\sqrt{n}$	Diminui com n
Intervalo de confiança	Faixa de valores plausíveis para $\mu$, com nível de confiança definido	$\bar{x} \pm t \cdot EP$	Diminui com n

Erro comum 1, usar o desvio padrão para descrever a precisão da estimativa

Reportar “média de 38,2%, desvio padrão de 2,10%” como medida de precisão da estimativa é um erro de escopo.
O desvio padrão descreve a variabilidade entre os lotes. A precisão da estimativa da média é descrita pelo erro padrão ou pelo intervalo de confiança.

Erro comum 2, interpretar o IC como o intervalo que contém 95% dos dados

Um intervalo de confiança de 95% não é a faixa onde estão 95% das observações individuais.
Essa é a definição do intervalo entre os percentis 2,5 e 97,5, um conceito descritivo diferente. O IC é uma afirmação sobre o parâmetro populacional, não sobre a distribuição dos dados observados.

Erro comum 3, achar que aumentar n reduz o desvio padrão

Aumentar o tamanho da amostra reduz o erro padrão e estreita o intervalo de confiança.
O desvio padrão tende a se estabilizar em torno do valor populacional à medida que n cresce, e não a diminuir indefinidamente. Ele reflete a variabilidade real dos lotes, uma característica da população, não da amostra.

Resumo: amostra, erro padrão e IC

Conceito	Descreve	Função no R	Diminui com o aumento de n
Amostra	Subconjunto da população	`slice_sample()`	Não se aplica
Desvio padrão	Dispersão dos dados individuais	`sd()`	Não
Erro padrão	Precisão da média amostral	`sd()/sqrt(n)`	Sim
Intervalo de confiança	Faixa plausível para o parâmetro	`t.test()$conf.int`	Sim, fica mais estreito

Obrigada!

Continue praticando e explorando.

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Medida	O que mede	Fórmula	Depende de n
Desvio padrão	Variabilidade entre as observações individuais	\(s = \sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}\)	Não diminui com n
Erro padrão	Precisão da média amostral como estimativa de \(\mu\)	\(EP = s/\sqrt{n}\)	Diminui com n
Intervalo de confiança	Faixa de valores plausíveis para \(\mu\), com nível de confiança definido	\(\bar{x} \pm t \cdot EP\)	Diminui com n