Aula 31. Média não é tudo: tendência central e dispersão

Moda, mediana, médias geométrica e harmônica, variância, CV e MAD, com o caso do outlier que desloca a média sem mover a mediana

Democratização

Esta aula continua diretamente da Aula 27. Os dados simulados são os mesmos, produtividade do híbrido H2 em 10.000 parcelas agronômicas. A amostra de 120 parcelas extraída anteriormente é reutilizada aqui para garantir continuidade nos resultados.

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Objetivos da aula

  • Calcular e interpretar as cinco medidas de tendência central, média aritmética, mediana, moda, média geométrica e média harmônica
  • Calcular e interpretar as principais medidas de dispersão, variância, desvio padrão, amplitude, IQR, MAD e CV%
  • Identificar quando a média deixa de representar bem o centro dos dados
  • Comparar a robustez da mediana e do MAD frente a valores extremos
  • Reconhecer os erros mais frequentes na escolha e no relato dessas medidas

Bloco 1

Medidas de Tendência Central

Média aritmética

  • A média aritmética é a soma dos valores dividida pelo número de observações.

\[\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\]

  • Cada observação entra no cálculo com o mesmo peso, incluindo valores extremos.

  • No contexto agronômico: a produtividade média das 120 parcelas amostradas resume o centro da distribuição, desde que ela seja aproximadamente simétrica.

Important

Atenção: a média é sensível a valores extremos. Um único valor discrepante desloca seu resultado, mesmo que represente um erro de medição ou um evento isolado.

Mediana

  • A mediana é o valor que ocupa a posição central dos dados ordenados.

\[\tilde{x} = \begin{cases} x_{(n+1)/2} & \text{se } n \text{ é ímpar} \\ \dfrac{x_{(n/2)} + x_{(n/2+1)}}{2} & \text{se } n \text{ é par} \end{cases}\]

  • Depende apenas da posição dos valores, não de sua magnitude.

  • No contexto agronômico: a mediana permanece estável mesmo diante de uma leitura de produtividade fisiologicamente implausível.

Moda

  • A moda é o valor ou categoria de maior frequência no conjunto de dados.

  • É a única medida de tendência central aplicável a variáveis qualitativas.

  • No contexto agronômico: entre os tipos de solo amostrados, argiloso, arenoso e franco, a moda identifica a classe predominante.

  • Em variáveis contínuas, a moda é obtida após arredondamento ou agrupamento em classes, e pode não ser única.

Média geométrica

  • A média geométrica é a raiz de ordem \(n\) do produto dos valores.

\[\bar{x}_g = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i} = \exp\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln(x_i)\right)\]

  • Adequada para dados que representam taxas de crescimento, variações percentuais ou séries multiplicativas.

  • No contexto agronômico: o crescimento médio de produtividade entre safras consecutivas deve ser calculado pela média geométrica, não pela aritmética.

Important

Atenção: aplicar a média aritmética sobre taxas de crescimento composto produz um resultado superestimado.

Média harmônica

  • A média harmônica é o inverso da média dos inversos dos valores.

\[\bar{x}_h = \frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}\]

  • Adequada para dados expressos como razões, como eficiência de uso de insumo por área ou velocidade média em percursos de mesma distância.

  • É a mais sensível às três médias a valores próximos de zero.

Código: tendência central

amostra |>
  summarise(
    media     = mean(produtividade),
    mediana   = median(produtividade),
    moda      = moda(round(produtividade, 1))[1],
    media_geo = exp(mean(log(produtividade))),
    media_har = n() / sum(1 / produtividade)) |>
  mutate(across(where(is.numeric), ~ round(.x, 4)))

Output: tendência central

# A tibble: 1 × 5
  media mediana  moda media_geo media_har
  <dbl>   <dbl> <dbl>     <dbl>     <dbl>
1  8.36    8.40   7.9      8.26      8.16
  • A proximidade entre média, mediana e as médias geométrica e harmônica confirma que esta amostra segue distribuição aproximadamente simétrica, sem valores próximos de zero ou taxas multiplicativas envolvidas.

Bloco 2

Medidas de Dispersão

Variância e desvio padrão

Medida Definição Interpretação
Variância \(s^2 = \dfrac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}\) Dispersão média ao quadrado
Desvio padrão \(s = \sqrt{s^2}\) Dispersão na mesma unidade dos dados
  • O desvio padrão descreve a variabilidade dos dados individuais em torno da média, e não deve ser confundido com o erro padrão da média, que descreve a precisão da estimativa.

Amplitude e IQR

Medida Definição Interpretação
Amplitude \(x_{max} - x_{min}\) Alcance total dos dados
IQR \(Q_3 - Q_1\) Alcance dos 50% centrais dos dados

  • A amplitude é determinada exclusivamente pelos dois valores extremos, e ignora toda a estrutura intermediária da distribuição.

  • O IQR é uma medida de dispersão robusta, pouco sensível a valores atípicos.

MAD, desvio absoluto mediano

  • O MAD é a mediana dos desvios absolutos em relação à mediana, multiplicada por uma constante de consistência.

\[MAD = 1{,}4826 \times \text{mediana}\left(|x_i - \tilde{x}|\right)\]

  • A constante 1,4826 torna o MAD comparável ao desvio padrão sob distribuição normal.

  • É o análogo robusto do desvio padrão, apropriado quando há suspeita de valores extremos nos dados.

Coeficiente de variação, CV%

\[CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\]

  • Expressa a dispersão em termos relativos à média, permitindo comparar variáveis com unidades ou magnitudes diferentes.

  • No contexto agronômico: CV abaixo de 15% indica variabilidade experimental baixa a moderada, valor referencial comumente adotado na experimentação agronômica.

Important

Atenção: CV% alto não significa necessariamente falha experimental. Algumas variáveis, como contagens e proporções, apresentam CV% elevado por característica intrínseca.

Código: dispersão

amostra |>
  summarise(
    variancia = var(produtividade),
    dp        = sd(produtividade),
    amplitude = max(produtividade) - min(produtividade),
    iqr       = IQR(produtividade),
    mad       = mad(produtividade),
    media     = mean(produtividade)) |>
  mutate(
    cv = (dp / media) * 100,
    across(where(is.numeric), ~ round(.x, 4)))

Output: dispersão

# A tibble: 1 × 7
  variancia    dp amplitude   iqr   mad media    cv
      <dbl> <dbl>     <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1      1.54  1.24      6.97  1.63  1.22  8.36  14.8
  • O CV próximo de 14% está de acordo com o valor esperado para dados de produtividade gerados a partir de uma distribuição normal com desvio padrão de 1,20 t/ha e média de 8,45 t/ha.

Bloco 3

Quando a Média Engana

Cenário: um erro de registro na amostra

  • Suponha que, durante a coleta, a produtividade de uma das 120 parcelas seja registrada como 25 t/ha, um valor fisiologicamente implausível para o híbrido H2.

  • Esse tipo de valor extremo pode ter origem em erro de digitação, falha do equipamento de colheita ou evento isolado não representativo do experimento.

  • A seguir, comparamos a amostra original com essa mesma amostra contendo o valor extremo.

Código: construção do cenário

amostra_outlier <- amostra |>
  mutate(produtividade = if_else(row_number() == 1, 25, produtividade))

Código: média e mediana, antes e depois

bind_rows(
  amostra |>
    summarise(cenario = "Original", media = mean(produtividade),
              mediana = median(produtividade)),
  amostra_outlier |>
    summarise(cenario = "Com valor extremo", media = mean(produtividade),
              mediana = median(produtividade))) |>
  mutate(across(where(is.numeric), ~ round(.x, 3)))

Output: média e mediana, antes e depois

# A tibble: 2 × 3
  cenario           media mediana
  <chr>             <dbl>   <dbl>
1 Original           8.36    8.40
2 Com valor extremo  8.50    8.40
  • A média se desloca de forma perceptível com a inclusão de um único valor extremo, enquanto a mediana permanece praticamente inalterada, pois depende apenas da posição dos dados ordenados.

Código: visualização do deslocamento

dados_cenarios <- bind_rows(
  amostra |> mutate(cenario = "Original"),
  amostra_outlier |> mutate(cenario = "Com valor extremo"))

resumo_cenarios <- dados_cenarios |>
  group_by(cenario) |>
  summarise(media = mean(produtividade), mediana = median(produtividade),
            .groups = "drop")

dados_cenarios |>
  ggplot(aes(x = produtividade, fill = cenario)) +
  geom_density(alpha = 0.5) +
  geom_vline(data = resumo_cenarios,
             aes(xintercept = media, color = cenario),
             linetype = "dashed", linewidth = 1) +
  geom_vline(data = resumo_cenarios,
             aes(xintercept = mediana, color = cenario),
             linetype = "dotted", linewidth = 1) +
  scale_fill_manual(values = c(
    "Original"          = cores_cafe["azul_claro"],
    "Com valor extremo" = cores_cafe["marrom"])) +
  scale_color_manual(values = c(
    "Original"          = cores_cafe["azul_escuro"],
    "Com valor extremo" = cores_cafe["marrom"])) +
  labs(
    title    = "Efeito de um valor extremo sobre média e mediana",
    subtitle = "Linha tracejada, média. Linha pontilhada, mediana.",
    x        = "Produtividade (t/ha)",
    y        = "Densidade",
    fill     = "Cenário",
    color    = "Cenário",
    caption  = "Jennifer Lopes | Café com R") +
  tema

Gráfico: visualização do deslocamento

MAD e desvio padrão diante do mesmo valor extremo

  • O desvio padrão é calculado a partir dos quadrados dos desvios em relação à média, o que amplia o efeito de um valor extremo sobre seu resultado.

  • O MAD é calculado a partir da mediana dos desvios em relação à mediana, medida que permanece estável diante do mesmo valor extremo.

  • Essa diferença de comportamento é o motivo pelo qual o MAD é preferido como medida de dispersão em conjuntos de dados com suspeita de valores atípicos.

Código: MAD e desvio padrão

bind_rows(
  amostra |>
    summarise(cenario = "Original", dp = sd(produtividade),
              mad = mad(produtividade)),
  amostra_outlier |>
    summarise(cenario = "Com valor extremo", dp = sd(produtividade),
              mad = mad(produtividade))) |>
  mutate(across(where(is.numeric), ~ round(.x, 3)))

Output: MAD e desvio padrão

# A tibble: 2 × 3
  cenario              dp   mad
  <chr>             <dbl> <dbl>
1 Original           1.24  1.22
2 Com valor extremo  1.96  1.23
  • O desvio padrão aumenta de forma acentuada com a inclusão do valor extremo, enquanto o MAD permanece praticamente no mesmo patamar, confirmando sua robustez.

Bloco 4

Erros Comuns

Erro 1, reportar a média sem medida de dispersão

  • Uma média sem desvio padrão, erro padrão ou intervalo de confiança é estatisticamente incompleta.

  • Reportar apenas o valor central impede o leitor de avaliar a variabilidade e a confiabilidade da estimativa.

Erro 2, usar a média em distribuição assimétrica

  • Quando a distribuição é claramente assimétrica, como contagem de insetos ou incidência de doença, a média deixa de representar bem o centro dos dados.

  • Nessas situações, a mediana ou a moda descrevem melhor o comportamento típico da variável.

Erro 3, confundir a robustez do MAD com a do desvio padrão

  • Tratar o MAD como equivalente ao desvio padrão desconsidera sua principal vantagem, a resistência a valores extremos.

  • Usar o desvio padrão em conjuntos de dados com suspeita de outliers sem avaliar o MAD como alternativa produz uma medida de dispersão inflada.

Erro 4, não reportar o CV% em tabela de resultado

  • O CV% é exigido pelas principais revistas agronômicas brasileiras, e por parte das internacionais, como indicador da qualidade experimental.

  • Omitir o CV% impede a avaliação comparativa da precisão entre experimentos com médias distintas.

Resumo: tendência central e dispersão

Medida Robustez a outliers Função no R Quando usar
Média aritmética Baixa mean() Distribuição simétrica, sem outliers
Mediana Alta median() Distribuição assimétrica ou com outliers
Moda Alta Sem função nativa Variáveis categóricas ou discretas
Média geométrica Baixa exp(mean(log())) Taxas de crescimento, séries multiplicativas
Média harmônica Baixa n()/sum(1/x) Razões, velocidades médias
Desvio padrão Baixa sd() Dispersão em torno da média, dados simétricos
MAD Alta mad() Dispersão robusta, suspeita de outliers
CV% Baixa sd()/mean()*100 Comparação de variabilidade entre experimentos

Obrigada!

Continue praticando e explorando.

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